Was ist quadratische ergänzung?

Quadratische Ergänzung ist eine Technik, die verwendet wird, um einen quadratischen Ausdruck in die Form a(x + h)² + k umzuwandeln, wobei a, h und k Konstanten sind. Diese Form wird auch Scheitelpunktform genannt und ermöglicht es, den Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel direkt abzulesen. Die quadratische Ergänzung ist besonders nützlich, um quadratische Gleichungen zu lösen, den minimalen oder maximalen Wert einer quadratischen Funktion zu bestimmen oder eine quadratische Funktion zu zeichnen.

Schritte der Quadratischen Ergänzung:

1. Koeffizient vor x² gleich 1 setzen: Falls der Koeffizient vor x² nicht 1 ist, muss die gesamte Gleichung durch diesen Koeffizienten dividiert werden. Siehe Koeffizient.

2. Hinzufügen und Subtrahieren des Quadrats der Hälfte des Koeffizienten von x: Nehmen Sie die Hälfte des Koeffizienten von x, quadrieren Sie das Ergebnis, und addieren und subtrahieren Sie diesen Wert innerhalb des Ausdrucks. Dies verändert den Wert des Ausdrucks nicht, ermöglicht aber die Umformung in ein vollständiges Quadrat.

3. Umwandlung in ein vollständiges Quadrat: Die ersten drei Terme (nach dem Hinzufügen und Subtrahieren) bilden nun ein vollständiges Quadrat. Schreiben Sie diese als (x + b/2)² wobei 'b' der ursprüngliche Koeffizient von x ist, nachdem der Koeffizient vor x² gleich 1 gesetzt wurde.

4. Vereinfachen: Vereinfachen Sie den restlichen konstanten Term, um die Scheitelpunktform zu erhalten. Siehe Vereinfachen.

Anwendungen:

• Lösen quadratischer Gleichungen: Durch die quadratische Ergänzung kann man die quadratische Gleichung in eine Form bringen, in der sie durch Wurzelziehen gelöst werden kann. Siehe Quadratische%20Gleichungen.

• Finden des Scheitelpunkts einer Parabel: Die Scheitelpunktform a(x + h)² + k gibt den Scheitelpunkt der Parabel als (-h, k) an. Siehe Parabel.

• Bestimmung von Minimal- oder Maximalwerten: Da (x + h)² immer größer oder gleich Null ist, kann man den Minimal- oder Maximalwert der quadratischen Funktion leicht ablesen. Siehe Minimalwert oder Maximalwert.